creature強制法勉強日記(4月28日): creature強制法がproperになる十分条件の一つ

本記事は[RS99]のTheorem 2.1.4の行間を埋めただけのものである．原論文と異なり，強制概念の小さい元ほど強いという流儀を採用する．

感想：添え字がいっぱいあって大変だけど，やっていることはMathias強制法がproperなことの証明とかを素朴に一般化しただけなので，冷静になればいける．

証明．$i \in \omega$であって$w^p \in \basis(t^p_i)$となるものを取る． $q = (w^p, t^p_i, t^p_{i+1}, \dots)$は所望の条件である． (証明終わり)

証明．まず$q$が条件であることを確認していく．

任意の$i < \omega$について，$m_\mathrm{up}^{t^q_i} = m_\mathrm{down}^{t^q_{i+1}}$であることは明らか．

$w' \in \basis(t^q_0)$であること：$p$が条件であるので，$w' \in \pos(w, s_0, \dots, s_{n-1})$について，$w' \in \basis(s_n) = \basis(t^q_0)$となる．

どんな有限区間$I \subseteq \omega$とどんな$u \in \pos(w', \{t^q_i\}_{i \in I})$についても$j = \max (\omega \setminus I)$について$u \in \basis(t^q_j)$であること：補題と$p$が条件なことより従う．

列$(t^q_i : i \in \omega)$はノルム条件$\mathrm{s}\infty$を満たすことは明らか．

以上より$q$が条件であることが確かめられた． $q \le p$は明らか． (証明終わり)

上記の$p$と$w'$から$q$を作る写像を$\phi$としよう：$q = \phi(p, w')$．

証明．$q \le p$の証拠となる区間列$(I_n : n \in \omega)$を取る： $w^q \in \pos(w^p, t^p_i : i \in I_0)$かつ$t^q_n \in \Sigma(t^p_i : i \in I_{n+1})$ (for every $n \in \omega$).

このとき$w' \in \pos(w^p, t^p_0, \dots, t^p_{\min(I_n) - 1})$であるので，条件$\phi(p, w')$を考えることができる．

$J_0 = \varnothing, J_{m+1} = I_{n+m+1}$で定まる区間列が$\phi(q, w') \le \phi(p, w')$の証拠となる． (証明終わり)

証明． $q' = (w^q, t^q_0, \dots, t^q_{n-1}, t^r_0, t^r_1, \dots)$とおく．

$q'$が条件なことを見よう． $m_\mathrm{up}^{t^q_{n-1}} = m_\mathrm{down}^{t^r_0}$を見る必要があるが，両者は$|w'|$に等しいのでよい． $w^q \in \basis(t^q_0)$は$q \in \QQQ$より従う．

どんな有限区間$I \subseteq \omega$とどんな$u \in \pos(w^q, \{t^{q'}_i\}_{i \in I})$についても$u \in \basis(t^{q'}_{|I|})$なこと： $I=n$の場合が問題となる． $t^{q'}_{|I|} = t^r_0$で$r \le \phi(q, w')$なので，ある$i \in \omega$について$t^r_0 = \Sigma(t^q_n, \dots, t^q_{n+i})$となる．しかし，nicenessより，$u \in \basis(t^q_n) \subseteq \basis(t^r_0)$となる．よってよい．

ノルム条件$\mathrm{s}\infty$を満たしているのは明らか．

$q' \le q$について． $r \le_0 \phi(q, w')$なのでその証拠となる区間分割$(I_n : n \in \omega)$をとる． $J_0 = \varnothing, J_1 = \{ 0 \}, \dots, J_n = \{ n-1 \}, J_{n+1} = I_1, J_{n+2} = I_2, \dots$という区間分割を取れば$q' \le q$の証拠となる．

$\phi(q', w') = r$は明らか． (証明終わり)

証明． $p = (w^p, t^p_0, t^p_1, \dots)$とする．目的の条件$q = (w^q, s_0, s_1, \dots)$を定めていく． $w^q = w^p$とし，$i < l$に対しては$s_i = t^p_i$とする． $n \ge l$に関する帰納法で$q_n, s_n, t^n_{n+1}, t^n_{n+2}, \dots$を次を満たすように定める．

$q_l = p$
$q_{n+1} = (w^p, s_0, \dots, s_n, t^n_{n+1}, t^n_{n+2}, \dots) \in \QQQ$
$q_{n+1} \le_n q_n$
もし$w_1 \in \pos(w^p, s_0, \dots, s_{n-1}), m \le m^{s_{n-1}}_\mathrm{up}$かつ，ある$r \in \QQQ, r \le_0 (w_1, s_n, t^n_{n+1}, t^n_{n+2}, \dots)$が存在して，$r$が$\dot{\tau}_m$を決定するならば，$(w_1, s_n, t^n_{n+1}, t^n_{n+2}, \dots)$もすでに決定している．

補題より，上記の状況で$(w_1, s_n, t^n_{n+1}, t^n_{n+2}, \dots)$は$\QQQ$の条件であることに注意する．

主張：上記の列を構成すれば定理の証明は終わる．

$q$を$(q_n : n \ge l)$のfusionとする． $n \ge l$と$m \le m^{s_{n-1}}_\mathrm{up}$を固定する． $w_1 \in \pos(w^q, t^q_0, \dots, t^q_{n-1})$とする． $r \le q$で$w^r = w_1$なものが$\dot{\tau}_m$を決定していたとする．この$r$は$r \le_0 (w_1, s_n, t^n_{n+1}, t^n_{n+2}, \dots)$を満たす．

よって(iv)より$(w_1, s_n, t^n_{n+1}, t^n_{n+2}, \dots)$も$\dot{\tau}_m$を決定する．したがって，$(w_1, s_n, t^n_{n+1}, t^{n+1}_{n+2}, t^{n+2}_{n+3}, \dots)$も補題よりそれより下の条件なので$\dot{\tau}_m$を決定する．

以上より，(i)-(iv)を満たす列を構成すればよいことがわかった． $s_{n-1}$までと$t^{n-1}_{n+i}$ (for $i \in \omega$)および$q_n$が定まったとする． $\pos(w^p, s_0, \dots, s_{n-1}) \times (m^{s_{n-1}}_\mathrm{up}+1)$の枚挙$((w^n_i, m^n_i) : i < k_n)$を取る． creating pairがfinitaryという仮定より$k_n < \omega$である．

$\QQQ$の条件の列$(q_{n,k} : k \le k_n)$を次を満たすように定める．

$q_{n,0} = q_n$.
$q_{n,k}$は次の形：$(w^p, s_0, \dots, s_{n-1}, t^{n,k}_n, t^{n,k}_{n+1}, \dots)$.
$q_{n,k+1} \le_n q_{n,k}$.
ある$r \in \QQQ$で$r \le_0 (w^n_k, t^{n,k}_n, t^{n,k}_{n+1}, \dots)$が$\dot{\tau}_{m^n_k}$を決定するならば，$(w^n_k, t^{n,k+1}_n, t^{n.k+1}_{n+1}, \dots)$も$\dot{\tau}_{m^n_k}$を決定する．

主張：上記の列を構成すれば，条件を満たす$s_n$と$t^n_{n+i}$ ($i \in \omega$)，$q_{n+1}$を構成できる．

$s^n = t^{n,k_n}_k, t^n_{n+i} = t^{n,k_n}_{n+i}$, $q_{n+1} = q_{n,k_n}$とおく．これが条件を満たすことを示す． (iii) $q_{n+1} \le_n q_n$は$\le_n$の推移律より良い．

(iv)を見よう． $w_1 \in \pos(w^p, s_0, \dots, s_{n-1}), m \le m^{s_{n-1}}_\mathrm{up}$とする．すると$(w_1, m) = (w^n_k, m^n_k)$となる$k < k_n$が見つかる． $r \in \QQQ, r \le_0 (w_1, s_n, t^n_{n+1}, t^n_{n+2}, \dots)$があって，$r$が$\dot{\tau}_m$を決定するとする．補題より，この条件$(w_1, s_n, t^n_{n+1}, t^n_{n+2}, \dots)$は$(w^n_k, t^{n,k}_n, t^{n,k}_{n+1}, \dots)$より$\le_0$で下にあるので，($\delta$)より，$(w^n_k, t^{n,k+1}_n, t^{n,k+1}_{n+1}, \dots)$も$\dot{\tau}_m$を決定している．よって，より強い条件$(w_1, s_n, t^n_{n+1}, t^n_{n+2}, \dots)$も$\dot{\tau}_m$を決定している．これで(iv)が確認できた．

したがって，後は($\alpha$)-($\delta$)を満たす列$(q_{n,k} : k \le k_n)$を構成すれば証明終わりである． $k < k_n$について$q_{n,k}$まで構成できたとして，$q_{n,k+1}$を構成する． ($\delta$)の仮定を満たさない場合は$q_{n,k+1} = q_{n,k}$でよい．したがって，ある$r \in \QQQ$で$r \le_0 (w^n_k, t^{n,k}_n, t^{n,k}_{n+1}, \dots)$が$\dot{\tau}_{m^n_k}$を決定すると仮定し，このような$r$を一つ固定する．この場合は，補題を$q_{n,k}$，$r$と$w^n_k$について適用して得られる条件を$q_{n,k+1}$とすればよい． (証明終わり)

証明．順序数の名前$\dot{\tau}$と$p \in \QQQ$と$n \in \omega$を任意に取る．このとき定理を$\tau_0 = \tau$として$\tau_1, \tau_2, \dots$は何でも良い順序数の名前で適用したとき$q \le_n p$が取れて，$q$は$\tau$を任意の$m \ge n$で近似する．各$m \ge n$と$w_1 \in \pos(w^q, t^q_0, \dots, t^q_{m-1})$について，$(w_1, t^q_m, t^q_{m+1}, \dots)$が$\tau$を決定するときその値を$\alpha^m_{w_1}$と書く．決定しないときは，$\alpha^m_{w_1} = 0$とおいておく．このとき$x := \{ \alpha^m_{w_1} : m \ge n, w_1 \in \pos(w^q, t^q_0, \dots, t^q_{m-1}) \}$は可算集合である (finitaryの仮定より$\pos(w^q, t^q_0, \dots, t^q_{n-1})$は有限集合だから)． $q \forces \dot{\tau} \in x$を示せばよい． $q' \le q$を任意に取る． $q'' \le q'$があって$\dot{\tau}$の値を決定する． $w_1 = w^{q''}$とおく． $w_1$の長さは十分長いと仮定できる．そこである$m \ge n$に対して$w_1 \in \pos(w^q, t^q_0, \dots, t^q_{n-1})$である． $q$は$\tau$を$m$で近似するから，$(w_1, t^q_m, t^q_{m+1}, \dots)$は$\tau$を決定している．よって決定されたその値は$\alpha^m_{w_1}$であり，$\dot{x}$に属する．したがって，$q'' \forces \dot{\tau} \in x$となり証明が終わる． (証明終わり)

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参考文献