執筆者: 後藤 達哉, 執筆日: 2025年4月27日
この記事では，Axiom Aを復習し，(線形な)creature forcingの定義を見て，その一つのパターン ($\mathrm{s}\infty$というノルム条件を入れたもの)がAxiom Aの条件の一部を満たしていることを示す．仮定を追加すればAxiom Aを全部満たすことも言えるが，それは次回に回す．
creature forcingの原論文 [RS99]と異なり，強制概念の小さい元ほど強いという流儀を採用する．
最初にAxiom Aのことを復習する．
強制概念$(P, \le)$がAxiom Aを満たすとは，$P$の半順序の列$(\le_n : n \in \omega)$が存在して，次の3条件を満たすことである．
次は互いに同値である．
証明．(1)ならば(2)． $\dot{a} \in V^P$と$p \in P$を取り，$p \Vdash \dot{a} \in V$と仮定する． $\dot{a}$をnice nameとして表す： $$ \dot{a} = \bigcup_{r \in A} \{r\} \times \check{a_r} $$ ここで$A$は極大な反鎖である． Axiom Aの最後の条件より，$q \le_n p$が存在し，$\{ r \in A : q \parallel r \}$は可算集合となる．この可算集合を$A'$と名付けよう． $x = \{ a_r : r \in A'\}$とおく． このとき$q \forces \dot{a} \in x$を示せばよい． $q' \le q$を任意にとる．$A$が極大反鎖なので$r \in A$がとれて，$q'$と$r$は両立する．$s \le q', r$としよう． $A'$の定義より$r \in A'$である．$r \forces \dot{a} = \check{a_r}$なので，それ以下の$s$も同じことを強制し，特に$s \forces \dot{a} \in x$となる．
(2)ならば(3)は明らか．
(3)ならば(1)． $P$とその濃度$|P|$との間の全単射$\iota \colon P \to |P|$を取る． $A \subseteq P$を反鎖とする．名前$\dot{a}$をすべての$r \in A$について $$ r \forces \dot{a} = \iota(r) $$ となるように取る． $p \in P$と$n \in \omega$を任意にとる． 明らかに$p \forces \dot{a} \in \mathrm{On}$なので，(3)より順序数からなる可算集合$x$と$q \le_n p$が取れて，$q \forces \dot{a} \in x$である． ここで $$ \{ r \in A : q \parallel r \} \subseteq \iota^{-1}[x] $$ を主張する． 実際，$r \in A$かつ$q \parallel r$とし，その両立元を$s$とすると$s \forces \iota(r) = \dot{a} \in x$である．よって，$\iota(r) \in x$が($\Delta_0$絶対性により$V$で)成立するので，$r \in \iota^{-1}[x]$である． したがって，$\{ r \in A : q \parallel r \}$は可算集合である． (補題の証明終わり)
Axiom Aを満たす強制概念はproperである．
証明は省略する (難しくない)．
以下，(線形な)creature forcingを定義する． 原論文ではweak creatureを定義してから線形なもの，treeのものという順序で紹介しているが，ここではいきなり線形なものを紹介する．
十分大きな正則基数$\chi$を固定しておく．また，$\H$は$H_\chi$に属する$\omega$列である．
$\H$のcreatureとは3つ組$t = (\nor[t], \val[t], \dis[t])$であって次を満たすもののことである．
$\val[t]$が非空なら2番目の条件の$m_0, m_1$は一意なので，それらを$m_{\mathrm{down}}^t$と$m_{\mathrm{up}}^t$と書く．
$\CR[\H]$で$\H$のcreature全体のなす集合を表す．
$K \subseteq \CR[\H]$とする．
$\Sigma \colon [K]^{\le \omega} \to \Pow(K)$が$K$上のcomposition operationであるとは，次の4条件を満たすことである
このときペア$(K, \Sigma)$をcreating pairという．
$(K, \Sigma)$をcreating pairとする．
$t \in K$について $$ \basis(t) = \{ w \in \prod_{i < m_\mathrm{down}^t} \H(i) : (\exists s \in \Sigma(\{t\}))(\exists u)((w, u) \in \val[s]) \} $$ とおく．
creatureの有限列$t_0, \dots, t_{m-1}$で$m_\mathrm{up}^{t_i} = m_\mathrm{down}^{t_{i+1}}$ for every $i < m-1$を満たしているものを考える． $w \in \prod_{i < m_\mathrm{down}^{t_0}}$とする． このとき， $$ \pos^*(w, t_0, \dots, t_{m-1}) = \{ u \in \prod_{i < m_\mathrm{up}^{t_{m-1}}} \H(i) : (\exists s \in \Sigma(\{t_1, \dots, t_{m-1} \}))((w, u) \in \val[s]) \} $$ とおく．
creatureの有限列$t_0, \dots, t_{m-1}$で$m_\mathrm{up}^{t_i} = m_\mathrm{down}^{t_{i+1}}$ for every $i < m-1$を満たしているものを考える． $w \in \prod_{i < m_\mathrm{down}^{t_0}} \H(i)$とする． これらについて，その可能性の集合を \begin{align*} \pos(w, t_0, \dots, t_{m-1}) = \{ u \in \prod_{i < m_\mathrm{up}^{t_{m-1}}} \H(i) : \,&\text{自然数列$0 < a_0 < \dots < a_l = m$があり，} \\ & u \restricted m_{\mathrm{down}}^{t_{a_0}} \in \pos^*(w, \{t_i\}_{i \in [0, a_0)}), \\ & u \restricted m_{\mathrm{down}}^{t_{a_1}} \in \pos^*(u \restricted m_{\mathrm{down}}^{t_{a_0}}, \{t_i\}_{i \in [a_0, a_1)}), \\ & \dots \\ & u \in \pos^*(u \restricted m_{\mathrm{down}}^{t_{a_{l-1}}}, \{t_i\}_{i \in [a_{l-1}, a_{l})}) \} \end{align*} と定める．
$w$と$t_0, \dots, t_{m-1}$が仮定を満たしていないときには，$\pos(w, t_0, \dots, t_{m-1}) = \varnothing$とする．
強制概念$\Q^*_{\Cnor}(K, \Sigma)$の条件は$p = (w, t_0, t_1, \dots)$という列であって，ある$m \in \omega$について$w \in \prod_{i < m} \H(i)$であり，各$t_i$ ($i < \omega$)は$K$の元であり，次を満たす：
以下，$p = (w, t_0, t_1, \dots)$に対して$w^p$で$w$を$t^p_i$で$t_i$を指し示すものとする．
$\Q^*_{\Cnor}(K, \Sigma)$の順序関係$q \le p$を次で定める． $\omega$のfinal segmentの区間分割$(I_n : n \in \omega)$があって， $w^q \in \pos(w^p, t^p_i : i \in I_0)$かつ$t^q_n \in \Sigma(t^p_i : i \in I_{n+1})$ (for every $n \in \omega$).
(TODO: この辺りの定義について直観的にどういうことなのか説明する)
いくつかのノルム条件を紹介しよう．creatureの列$(t_i : i \in \omega)$が条件$(\mathrm{s}\infty)$を満たすとは，次を満たすこと： $$ (\forall i < \omega)(\nor[t_i] > \max \{ i, m_\mathrm{down}^{t_i} \}). $$
このノルム条件を$\Cnor$として採用した場合の強制概念$\Q^*_{\Cnor}(K, \Sigma)$を$\Q^*_{\mathrm{s}\infty}(K, \Sigma)$と書く．
(TODO: 他のノルム条件も後々追加する)
$\Q^*_{\mathrm{s}\infty}(K, \Sigma)$がAxiom Aを満たすことを示したい．そのために，半順序の列$(\le^{\mathrm{s}\infty}_n : n \in \omega)$を定義する．
$p, q \in \Q^*_{\mathrm{s}\infty}(K, \Sigma)$に対して， $$ q\le^{\mathrm{s}\infty}_0 p \iff q \le p \text{ かつ } w^p = w^q. $$
$p, q \in \Q^*_{\mathrm{s}\infty}(K, \Sigma)$と$n\ge1$に対して， $$ q\le^{\mathrm{s}\infty}_n p \iff q \le p \text{ かつ } w^p = w^q \text{ かつ }(\forall i< n)(t^p_i = t^q_i). $$
これがAxiom Aの条件の一番を満たすのは明らか．二番目をチェックしよう．なお，三番目はfinitaryという仮定を追加したら言えるが，それはまた次の記事で示す．
半順序の列$(\le^{\mathrm{s}\infty}_n : n \in \omega)$は $\Q^*_{\mathrm{s}\infty}(K, \Sigma)$に対してAxiom Aの条件2をみたす． すなわち任意の条件の列$(p_n : n \in \omega)$であって，$p_{n+1} \le^{\mathrm{s}\infty}_n p_n$ (for every $n$)を満たすものについて，ある条件$q$があって，$q \le^{\mathrm{s}\infty}_n p_n$ (for every $n$)となる．
証明． $p_n = (w, s^n_0, s^n_1, s^n_2, \dots)$と書く ($w$はすべてで共通である)． 仮定より$i < \omega$に対して$s^{i+1}_i = s^{i+2}_i = s^{i+2}_i = \dots$なことに注意しよう． そこで$t_i = s^{i+1}_i$ ($i < \omega$)とおく． $q = (w, t_0, t_1, \dots)$が所望の条件であることを示そう．
任意の$i < \omega$について，$m_\mathrm{up}^{t_i} = m_\mathrm{down}^{t_{i+1}}$なこと： これは$t_i = s^{i+2}_i, t_{i+1} = s^{i+2}_i$なことと$p_{i+2}$が条件なことから従う．
ある$i < \omega$について$w \in \basis(t_i)$であること： $p_{|w|}$が条件なので，ある$j < \omega$があって，$w \in \basis(s^{|w|}_j)$となる． ところが下にあるcreatureの個数を考えてみれば，$j < |w|$がわかる． よって$w \in \basis(s^{|w|}_j) = \basis(s^{j+1}_j)$.
どんな有限区間$I \subseteq \omega$とどんな$u \in \pos(w, \{t_i\}_{i \in I})$についても$j = \max (\omega \setminus I)$について$u \in \basis(t_j)$であること． $u \in \pos(w, \{t_i\}_{i \in I}) = \pos(w, \{s^{j+1}_i\}_{i \in I})$となるので，$p_{j+1}$が条件なことから，$u \in \basis(s^{j+1}_j) = \basis(t_j)$である．
$q$がノルム条件$(\mathrm{s}\infty)$を満たすこと： これは，各$i$について$t_i = s^{i+1}_i$なことと$p_{i+1}$が条件なことからすぐ従う．
任意の$i$について$q \le p_i$であること： $p_{i+1} \le p_i$の証拠となる区間分割$(I^i_n : n \in \omega)$を取る． したがって，$s^{i+1}_{k} \in \Sigma(s^i_j : j \in I^i_{k+1})$となる． すると$\Sigma$の推移性より，$s^{i+2}_{l} \in \Sigma(\bigcup \{s^i_j : k \in I^{i+1}_{l+1}, j \in I^i_{k+1} \})$となる． この議論を繰り返すと，$q \le p_i$の証拠となる区間分割を見いだせる． (証明終わり)