creature強制法勉強日記(5月8日): Judah-Repickýの保存定理

定理の証明．$\delta =\omega$の場合を証明すれば十分． $\dot{y}$を実数の$P_{\omega }$-nameとし，$p\in P_{\omega }$とする． 示すべきことは$q\le p$と$x\in {\omega }^{\omega }$が存在して，$q⊩x⋢\dot{y}$となることである．

$\theta$を十分大きな正則基数とし，$N\prec H_{\theta }$を可算初等部分構造で$\dot{y},p,⟨P_n,{\dot{Q}}_n:n<\omega ⟩\in N$なものとする．

仮定の(2)より，$x^{\ast }\in {\omega }^{\omega }$がとれて， すべての$x\in N$について，無限個の$n$が存在し，すべての$y\in {\omega }^{\omega }$について$x^{\ast }{⊑}_{n}y$ならば$x{⊑}_{n}y$となる．

$n$についての帰納法で次を満たす列$⟨q_n,\dot{p_n}:n\in \omega ⟩$を構成していく．

1. $q_n$は$(N,P_n)$ジェネリックな条件
2. ${\dot{p}}_n$は$P_{n,\omega }$に属する条件の$P_n$-name
3. $q_n$は$\dot{p_n}$に関する$(N,P_n)$-evidenceを持つ
4. $q_{n+1}\upharpoonright n=q_n$かつ$(q_{n+1},{\dot{p}}_{n+1})\le (q_n,{\dot{p}}_n)$かつ$(q_{n+1},{\dot{p}}_{n+1})⊩x^{\ast }{⋢}_n\dot{y}$

もしこれらを構成し終えたら，$q=\bigcup _{n\in \omega }{q}_n$が明らかに所望の条件となる．

では構成を見ていこう．$n=0$については$q_0=\varnothing ,{\dot{p}}_0=p$でよい．$q_n,{\dot{p}}_n$まで構成が終わったと仮定して，$q_{n+1}{\dot{p}}_{n+1}$をこれから構成していく．

今，実数$\dot{y}$の解釈が$P_n$で存在する．すなわち実数の名前${\dot{y}}_n$と条件の減少列$⟨{\dot{p}}_n^m:m\in \omega ⟩$が存在して， $$q_n{⊩}_n(\mathrm{\forall }m)[{\dot{p}}_n^{m+1}\le {\dot{p}}_n^m\text{ かつ }{\dot{p}}_n^m{⊩}_{n,\omega }\dot{y}\upharpoonright m={\dot{y}}_n\upharpoonright m]$$ となる． そこで，補題2と$q_n$は$\dot{p_n}$に関する$(N,P_n)$-evidenceを持つことより，このような性質を満たす実数の名前${\dot{y}}_n$と条件の減少列$⟨{\dot{p}}_n^m:m\in \omega ⟩$がとれて，$q_n$は$\dot{y}$と$⟨{\dot{p}}_n^m:m\in \omega ⟩$に関する$(N,P_n)$-evidenceとなる．

定理の仮定より，${\dot{y}}_n$は$⊑$-dominating realの名前ではないので，「ある$x\in V$について，$x⋢{\dot{y}}_n$である」ことが$q_n$によって強制される． そこで，再び補題2より，グラウンドモデルの実数の名前$\dot{x}$が取れて，この性質を満たし，$q_n$は$\dot{x}$に関する$(N,P_n)$-evidenceとなる．

$q_n$が$\dot{x}$に関する$(N,P_n)$-evidenceとなることのwitness $A$を取る． すなわち，antichain $A\subseteq P_n\cap N$かつ$q_n\le \bigvee A$かつ，すべての$r\in A$で${\dot{x}}_r\in N$があり$q⊩\dot{x}={\dot{x}}_r$となる． antichain $A$を細分することにより，各${\dot{x}}_r$は名前でなくて本当のグラウンドモデルの実数$x_r\in N$だとしてよい． すると$x^{\ast }$の取り方より各$r\in A$ごとに自然数$k_r\ge n$が取れて，$(\mathrm{\forall }y\in {\omega }^{\omega })(x^{\ast }{⊑}_{k_r}y\to x_r{⊑}_{k_r}y)$となる． $P_n$-name $\dot{a}$を$r⊩k_r=\dot{a}$ for each $r\in A$と定める． すると絶対性の条件(3)より $$\begin{array}{}\text{(}\ast \text{)}& q_n⊩(\mathrm{\forall }y\in {\omega }^{\omega })(x^{\ast }{⊑}_{\dot{a}}y\to \dot{x}{⊑}_{\dot{a}}y)\end{array}$$ が分かる．加えて補題2より，$q_n$は$\dot{a}$に関する$(N,P_n)$-evidenceとなると仮定してよい．

他方で， $$q_n⊩\dot{x}{⋢}_{\dot{a}}{\dot{y}}_n$$ である． そこで，$q_n⊩\text{“}\{y\in {\omega }^{\omega }:\dot{x}{⋢}_{\dot{a}}y\}\text{は開集合"}$なことより，自然数の名前$\dot{m}$が取れて， $$q_n⊩[{\dot{y}}_n\upharpoonright \dot{m}]\subseteq \{y:\dot{x}{⋢}_{\dot{a}}y\}.$$ 補題2より，$q_n$は$\dot{m}$に関する$(N,P_n)$-evidenceとなると仮定してよい．すると($\ast$)を使うと， $$q_n⊩[{\dot{y}}_n\upharpoonright \dot{m}]\subseteq \{y:x^{\ast }{⋢}_{\dot{a}}y\}\subseteq \{y:x^{\ast }{⋢}_{n}y\}.$$ となる．

${\dot{p}}_{n+1}={\dot{p}}_n^{\dot{m}}\upharpoonright [n+1,\omega )$とおき，補題1より，ジェネリックな条件$q_{n+1}\in P_{n+1}$を取り，$q_{n+1}\upharpoonright n=q_n$かつ$q_n⊩q_{n+1}(n)\le {\dot{p}}_n^{\dot{m}}(n)$なように取る．

$$(q_{n+1},{\dot{p}}_{n+1})\le (q_n,{\dot{p}}_n^{\dot{m}})⊩\dot{y}\in [{\dot{y}}_n\upharpoonright \dot{m}]\subseteq \{y:x^{\ast }{⋢}_{n}y\}.$$ であることに注意する．

また，$q_{n+1}$は${\dot{p}}_{n+1}$に関する$(N,P_{n+1})$-evidenceである． $q_n$が$\dot{y}$と$⟨{\dot{p}}_n^m:m\in \omega ⟩$と$\dot{a}$に関する$(N,P_n)$-evidenceだからである． ここから，antichain $A\subset P_n\cap N$で$q_n\le \bigvee A$ですべての$r\in A$について$\dot{S},\dot{M}\in V^{P_n}\cap N$が存在し，$r⊩⟨{\dot{p}}_n^m:m\in \omega ⟩=\dot{S},\dot{M}=\dot{m}$となる (２つのantichainを「合成」することになるがそれは可能)． このantichain $A$の各元に最大元$1$を末尾に追加して$P_{n+1}$のantichain $A^{\prime }$を作れば，それが$q_{n+1}$は${\dot{p}}_{n+1}$に関する$(N,P_{n+1})$-evidenceであることのwitnessとなる．

(証明終わり)