creature強制法勉強日記(5月8日): Judah-Repickýの保存定理

定理の証明．$\delta = \omega$の場合を証明すれば十分． $\dot{y}$を実数の$P_\omega$-nameとし，$p \in P_\omega$とする． 示すべきことは$q \le p$と$x \in \omega^\omega$が存在して，$q \forces x \not \sqsubseteq \dot{y}$となることである．

$\theta$を十分大きな正則基数とし，$N \prec H_\theta$を可算初等部分構造で$\dot{y}, p, \seq{P_n, \dot{Q}_n : n < \omega} \in N$なものとする．

仮定の(2)より，$x^* \in \omega^\omega$がとれて， すべての$x \in N$について，無限個の$n$が存在し，すべての$y \in \omega^\omega$について$x^* \sqsubseteq_n y$ならば$x \sqsubseteq_n y$となる．

$n$についての帰納法で次を満たす列$\seq{q_n, \dot{p_n} : n \in \omega}$を構成していく．

1. $q_n$は$(N, P_n)$ジェネリックな条件
2. $\dot{p}_n$は$P_{n,\omega}$に属する条件の$P_n$-name
3. $q_n$は$\dot{p_n}$に関する$(N, P_n)$-evidenceを持つ
4. $q_{n+1} \restricted n = q_n$かつ$(q_{n+1}, \dot{p}_{n+1}) \le (q_n, \dot{p}_n)$かつ$(q_{n+1}, \dot{p}_{n+1}) \forces x^* \not \sqsubseteq_n \dot{y}$

もしこれらを構成し終えたら，$q = \bigcup_{n \in \omega} q_n$が明らかに所望の条件となる．

では構成を見ていこう．$n = 0$については$q_0 = \varnothing, \dot{p}_0 = p$でよい．$q_n, \dot{p}_n$まで構成が終わったと仮定して，$q_{n+1} \dot{p}_{n+1}$をこれから構成していく．

今，実数$\dot{y}$の解釈が$P_n$で存在する．すなわち実数の名前$\dot{y}_n$と条件の減少列$\seq{\dot{p}^m_n : m \in \omega}$が存在して， $$ q_n \forces_n (\forall m)[ \dot{p}^{m+1}_n \le \dot{p}^m_n \text{ かつ } \dot{p}^m_n \forces_{n,\omega} \dot{y} \restricted m = \dot{y}_n \restricted m ] $$ となる． そこで，補題2と$q_n$は$\dot{p_n}$に関する$(N, P_n)$-evidenceを持つことより，このような性質を満たす実数の名前$\dot{y}_n$と条件の減少列$\seq{\dot{p}^m_n : m \in \omega}$がとれて，$q_n$は$\dot{y}$と$\seq{\dot{p}^m_n : m \in \omega}$に関する$(N, P_n)$-evidenceとなる．

定理の仮定より，$\dot{y}_n$は$\sqsubseteq$-dominating realの名前ではないので，「ある$x \in V$について，$x \not \sqsubseteq \dot{y}_n$である」ことが$q_n$によって強制される． そこで，再び補題2より，グラウンドモデルの実数の名前$\dot{x}$が取れて，この性質を満たし，$q_n$は$\dot{x}$に関する$(N, P_n)$-evidenceとなる．

$q_n$が$\dot{x}$に関する$(N, P_n)$-evidenceとなることのwitness $A$を取る． すなわち，antichain $A \subseteq P_n \cap N$かつ$q_n \le \bigvee A$かつ，すべての$r \in A$で$\dot{x}_r \in N$があり$q \forces \dot{x} = \dot{x}_r$となる． antichain $A$を細分することにより，各$\dot{x}_r$は名前でなくて本当のグラウンドモデルの実数$x_r \in N$だとしてよい． すると$x^*$の取り方より各$r \in A$ごとに自然数$k_r \ge n$が取れて，$(\forall y \in \omega^\omega)(x^* \sqsubseteq_{k_r} y \rightarrow x_r \sqsubseteq_{k_r} y)$となる． $P_n$-name $\dot{a}$を$r \forces k_r = \dot{a}$ for each $r \in A$と定める． すると絶対性の条件(3)より $$ q_n \forces (\forall y \in \omega^\omega)(x^* \sqsubseteq_{\dot{a}} y \rightarrow \dot{x} \sqsubseteq_{\dot{a}} y) \tag{$\ast$} $$ が分かる．加えて補題2より，$q_n$は$\dot{a}$に関する$(N, P_n)$-evidenceとなると仮定してよい．

他方で， $$ q_n \forces \dot{x} \not \sqsubseteq_{\dot{a}} \dot{y}_n $$ である． そこで，$q_n \forces \text{“$\{ y \in \omega^\omega : \dot{x} \not \sqsubseteq_{\dot{a}} y \}$は開集合"}$なことより，自然数の名前$\dot{m}$が取れて， $$ q_n \forces [\dot{y}_n \restricted \dot{m}] \subseteq \{ y : \dot{x} \not \sqsubseteq_{\dot{a}} y \}. $$ 補題2より，$q_n$は$\dot{m}$に関する$(N, P_n)$-evidenceとなると仮定してよい．すると($\ast$)を使うと， $$ q_n \forces [\dot{y}_n \restricted \dot{m}] \subseteq \{ y : x^* \not \sqsubseteq_{\dot{a}} y \} \subseteq \{ y : x^* \not \sqsubseteq_{n} y \}. $$ となる．

$\dot{p}_{n+1} = \dot{p}_n^{\dot{m}} \restricted [n+1, \omega)$とおき，補題1より，ジェネリックな条件$q_{n+1} \in P_{n+1}$を取り，$q_{n+1} \restricted n = q_n$かつ$q_n \forces q_{n+1}(n) \le \dot{p}_n^{\dot{m}}(n)$なように取る．

$$ (q_{n+1}, \dot{p}_{n+1}) \le (q_n, \dot{p}^\dot{m}_n) \forces \dot{y} \in [\dot{y}_n \restricted \dot{m}] \subseteq \{ y : x^* \not \sqsubseteq_{n} y \}. $$ であることに注意する．

また，$q_{n+1}$は$\dot{p}_{n+1}$に関する$(N, P_{n+1})$-evidenceである． $q_n$が$\dot{y}$と$\seq{\dot{p}^m_n : m \in \omega}$と$\dot{a}$に関する$(N, P_{n})$-evidenceだからである． ここから，antichain $A \subset P_n \cap N$で$q_n \le \bigvee A$ですべての$r \in A$について$\dot{S}, \dot{M} \in V^{P_n} \cap N$が存在し，$r \forces \seq{\dot{p}^m_n : m \in \omega} = \dot{S}, \dot{M} = \dot{m}$となる (２つのantichainを「合成」することになるがそれは可能)． このantichain $A$の各元に最大元$1$を末尾に追加して$P_{n+1}$のantichain $A'$を作れば，それが$q_{n+1}$は$\dot{p}_{n+1}$に関する$(N, P_{n+1})$-evidenceであることのwitnessとなる．

(証明終わり)