creature強制法勉強日記(4月29日): $\PTfg$はcreature forcingの一例とみなせる

執筆者: 後藤 達哉, 執筆日: 2025年4月29日，更新日: 2025年4月30日

この記事ではBartoszynskiとJudahとShelahによって[BJS93]で考案された$\non(\meager)$を上げる強制法$\PTfg$がcreature forcingの一例とみなせることを軽く見る． この強制法については[BJ95]の7.3.B節でも解説されているので参照されたし．

$f \in \omega^\omega$と$g \in \omega^{\omega \times \omega}$は次の条件を満たす関数とする．

  1. すべての$n \in \omega$に対して$f(n) > \prod_{j < n} f(j)$.
  2. すべての$n, j \in \omega$に対して$g(n, j+1) > f(n) \cdot g(n, j)$.
  3. $\min \{ j \in \omega : g(n, j) > f(n+1) \} \to \infty$ (as $n \to \infty$).
定義 ($\PTfg$)

集合$\Seq^f$を$\Seq^f = \{ s \in \omega^{<\omega} : (\forall j < |s|) (s(j) \le f(j)) \}$と定める． $\PTfg$を次で定められる強制概念とする． $T \in \PTfg$であるのは次のとき：

  1. $T$は$\Seq^f$の完全な部分木．
  2. 関数$r \in \omega^\omega$で$\lim_{n \to \infty} r(n) = \infty$なものが存在して，次を満たす： \[ (\forall s \in T)(\stem(T) \subseteq s \rightarrow |\suc_T(s)| \ge g(|s|, r(|s|))). \]

$\PTfg$の元の順序は包含で定められる：$S, T \in \PTfg$について$T \le S \Leftrightarrow T \subseteq S$.

なお，$f$と$g$の仮定3番より最大の木$\Seq^f$がちゃんと$r \to \infty$を満たすこと，したがって，強制法が空でないことが保証される．

適切に$\H$とcreating pair $(K, \Sigma)$を定めれば$\PTfg$とtree creature forcing $\Q^\mathrm{tree}_1(K, \Sigma)$が強制同値となることを見よう．

まず，$\H = f$とする． そして， \begin{align*} K = \{ t \in \TCR[\H] :\,&(\exists s \in \omega^\omega) \\ &\ [\dom(\val[s]) = \{s\}, \\ &\ \ \ran(\val[s]) \subseteq \{ s \append (k) : k \le f(|s|) \}, \\ &\ \ \nor[s] = \max \{ m : |\ran(\val[s])| \ge g(|s|, m) \} \\ &\ \ \dis[s] = \varnothing] \} \end{align*} とおく． $\Sigma(s) = \{ t \in K : \val[t] \subseteq \val[s] \}$とおく．

こう置けば$\PTfg$とtree creature forcing $\Q^\mathrm{tree}_1(K, \Sigma)$が強制同値なことはほぼ明らかだが，確認すべきことは$\PTfg$の条件$r \to \infty$と$\Q^\mathrm{tree}_1(K, \Sigma)$のノルム条件が同じことを言ってることである．

つまり，ノルム条件$(\mathrm{c})_1$は任意のpath $x \in [T]$について$\lim_{n \to \infty} \nor[t_{x \restricted n}] = \infty$であり，これと$\PTfg$の$r \to \infty$が同じことを言っているのは多少非自明．しかしこれは次を確認すれば良い．

補題

$T \subseteq \omega^{<\omega}$を有限分岐な木とする．$f : [T] \to \mathbb{R}$を関数とする．このとき次の2つは同値．

  1. 任意のpath $x \in [T]$について$\lim_{n \to \infty} f(x \restricted n) = \infty$.
  2. $\lim_{n \to \infty} \min \{ f(s) : s \in T \cap \omega^n \} = \infty$.

(2)ならば(1)は明らか． (2)の否定を仮定すると， $$ (\exists M \in \mathbb{R})(\exists^\infty n) \min \{ f(s) : s \in T \cap \omega^n \} \le M. $$

よってKőnigの補題より$x \in [T]$があり， $(\exists^\infty n)(f(x \restricted n) \le M)$となる．したがって，(1)の否定が示せた． (証明終わり)

[BJ95]の記述は[RS99]の記述でより一般に説明されているか？

問1.ところで$\Q^\mathrm{tree}_1(K, \Sigma)$の形のcreature forcingがproperかつ$\omega^\omega$-boundingなことを保証する条件として$2$-bigというのがある． 上記の強制法はこれを満たしているだろうか？

問1の答えはYesだ．つまり上記の$\Q^\mathrm{tree}_1(K, \Sigma)$は$2$-bigである．

証明．$t \in K$とし，$\nor[t] > 1$とする．$\ran(\val[s])$を$A_0$と$A_1$という2つの部分集合の非交和で書けたとしよう． $N = \nor[t]$とおく． このとき$A_0$と$A_1$のうち要素数の多い方を$A$とする． すると$|A| \ge \frac{g(|s|, N)}{2} \ge g(|s|, N-1)$となる． よって，$\ran(\val[s])$を$A$に縮小したcreature $t'$は$\nor[t'] \ge \nor[t]-1$を満たす． (証明終わり)

問2.$\PTfg$が$\cov(\nul)$を保つことを示すのに，[BJ95]は$(f,g)$-boundingという条件を使っている． $\Q^\mathrm{tree}_1(K, \Sigma)$の形のcreature forcingが$(f,g)$-boundingを満たす十分条件が[RS99]のTheorem 5.1.8にある．この十分条件は満たしているか？

問2の答えは残念ながら，Noかと思われる．というのも，その十分条件の一つの要項であるessentially $f$-bigというものは，ノルムの値が離散的な値しか取らない場合成り立ちえないと考えられるからだ．

問3.同じく，$\non(\nul)$を保つ十分条件も[RS99]のTheorem 3.3.5にある．これもどうか？

問3の答えはYesである．次の節でこれを見よう．

$\PTfg$はNNP-typeである

$\non(\nul)$を保存するための条件が次のNNPである．

定義 (NNP-type)

creating pair $(K, \Sigma)$がNNP-typeであるとは，実数列$(a_n : n \in \omega)$と自然数列$(k_n : n \in \omega)$が存在して，次を満たすことである．

証明には次の補題を使う．
補題

$(X, \mu)$を確率空間とする．

  1. $(A_j : j < N)$を$\mu(A_j) \le a$ (for every $j < N$)なる$X$の部分集合の列とする． このとき，$M \le N$について， $$ \mu(\{ x \in X : |\{j < N : x \in A_j\}| \ge M \}) \le \frac{a N}{M} $$ となる．
  2. $(B_j : j < N)$を$\mu(B_j) \ge a$ (for every $j < N$)なる$X$の部分集合の列とする． このとき，$M \le N$について， $$ \mu(\{ x \in X : |\{j < N : x \in B_j\}| \ge M \}) \ge 1 - \frac{(1-a) N}{N-M} $$ となる．

証明．(1)．$\chi_{A_j}$を$A_j$の特性関数とすると， $$ \int_X \sum_{j < N} \chi_{A_j} \le a N $$ である．したがって， $$ \mu(\{ x \in X : |\{j < N : x \in A_j\}| \ge M \}) = \mu(\{ x \in X : \sum_{j < N} \chi_{A_j} \ge M \}) \le \frac{a N}{M} $$ となる．

(2)．$A_j = X \smallsetminus B_j$とおくと，$\mu(A_j) \le 1 - a$なので，(1)より $$ \mu(\{ x \in X : |\{j < N : x \in A_j\}| \ge N-M \}) \le \frac{(1-a) N}{N-M} $$ 補集合を取ると， $$ \mu(\{ x \in X : |\{j < N : x \in B_j\}| \ge M \}) \ge 1 - \frac{(1-a) N}{N-M}. $$ (証明終わり)

定理

第一節の$\PTfg$と強制同値な$\Q^\mathrm{tree}_1(K, \Sigma)$について，この$(K, \Sigma)$はNNP-typeである．

証明．まず天下り的に$(a_n : n \in \omega)$と$(k_n : n \in \omega)$を与える． $$ a_0 = \frac12,\hspace{8mm} 1 - a_{n+1} = \left(1 - \frac{1}{f(n)}\right)(1 - a_n) $$ で定まる実数列$(a_n : n \in \omega)$と$k_n = n$で定まる自然数列$(k_n : n \in \omega)$でよい．

$\lim_{n \to \infty} a_n < 1$を確かめるには，$\prod_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{f(n)}\right) > 0$を見ればよい． よって，$\sum_{n \in \omega} \frac{1}{f(n)} < \infty$を見ればよい． しかし，$f$と$g$の仮定一番より$f(n) \ge n!$なのでこれは明らか．

NNPを確かめるために， $t \in K$で$\nor[t] > 2$なものと，$v \in \basis(t)$で$|v| \ge n$なものと$N \in \omega$と関数$h : \pos(v, t) \to \Pow(N)$なものを取り， $$ (\forall u \in \pos(v, t))(\frac{h(u)}{N} \ge a_{n+1}) $$ と仮定しよう．すると示すべきは \begin{align*} A := \{ i \in N : (\exists s \in \Sigma(t))[&\nor[s] \ge \nor[t] - 1, \\ & \basis(t) \subseteq \basis(s), (\forall u \in \pos(v, t))(i \in h(u))] \} \end{align*} について $$ \frac{|A|}{N} \ge a_n $$ となることである．

集合$A$を今の状況に合わせて簡単にすると $$ A = \{ i \in N : \nor[\{ u \in \ran(\val[s]) : i \in h(u) \}] \ge \nor[t] - 1 \} $$ である．さらに直すと $$ A = \{ i \in N : |\{ u \in \ran(\val[s]) : i \in h(u) \}| \ge g(|v|, \nor[t] - 1) \} $$ である． 自然数$N$上に一様確率測度を入れ，補題(2)を適用すると \begin{align*} \frac{|A|}{N} &\ge 1 - (1 - a_{n+1}) \frac{|\ran(\val[t])|}{|\ran(\val[t])| - g(|v|, \nor[t] - 1)} \\ &= 1 - (1 - a_{n+1}) \left(1 - \frac{g(|v|, \nor[t] - 1)}{|\ran(\val[t])|}\right)^{-1} \\ &\ge 1 - (1 - a_{n+1}) \left(1 - \frac{g(|v|, \nor[t] - 1)}{g(|v|, \nor[t])}\right)^{-1} \\ &\ge 1 - (1 - a_{n+1}) \left(1 - \frac{1}{f(|v|)}\right)^{-1} \\ &\ge 1 - (1 - a_{n+1}) \left(1 - \frac{1}{f(n)}\right)^{-1} \\ &= a_n \end{align*} となる． (証明終わり)

参考文献