creature強制法勉強日記(11月6日): Cohen実数を追加しない十分条件

$\H$のcreatureとは3つ組$t = (\nor[t], \val[t], \dis[t])$であって次を満たすもののことである．

• $\nor[t]$は$0$以上の実数
• ある$m_0 < m_1 < \omega$があって， $\val[t] \subseteq \{ (x, y) : x \in \prod_{i < m_0} H(i), y \in \prod_{i < m_1} H(i), x \subseteq y \}$.
• $\dis[t] \in H_\chi$

$\val[t]$が非空なら2番目の条件の$m_0, m_1$は一意なので，それらを$m_{\mathrm{down}}^t$と$m_{\mathrm{up}}^t$と書く．

$\CR[\H]$で$\H$のcreature全体のなす集合を表す．

$K \subseteq \CR[\H]$とする．

$\Sigma \colon [K]^{\le \omega} \to \Pow(K)$が$K$上のcomposition operationであるとは，次の4条件を満たすことである

• 全ての$r \in K$について，$r \in \Sigma(\{r\})$.
• $\Sigma(\varnothing) = \varnothing$.
• (推移性) 任意の$S \in [K]^{\le \omega}$と$(S_s : s \in S)$で$S_s \in [K]^{\le \omega}$ (for every $s \in S$)なものについて，もし$s \in \Sigma(S_s)$ (for every $s \in S$)ならば，$\Sigma(S) \subseteq \Sigma(\bigcup_{s \in S} S_s)$.
• 任意の$S \in [K]^{\le \omega}$について，もし$\Sigma(S) \ne \varnothing$ならば，$S$は有限集合であり，ある枚挙$S = \{ t_0, \dots, t_{m-1} \}$について，$m_\mathrm{up}^{t_i} = m_\mathrm{down}^{t_{i+1}}$ for every $i < m-1$である．
• $s \in \Sigma(\{t_0, \dots, t_{m-1}\})$ ($t_0, \dots, t_{m-1}$は上のような枚挙)のとき$m_\mathrm{down}^s = m_\mathrm{down}^{t_0}$かつ$m_\mathrm{up}^s = m_\mathrm{up}^{t_{m-1}}$.

このときペア$(K, \Sigma)$をcreating pairという．

$(K, \Sigma)$をcreating pairとする．

$t \in K$について $$ \basis(t) = \{ w \in \prod_{i < m_\mathrm{down}^t} \H(i) : (\exists s \in \Sigma(\{t\}))(\exists u)((w, u) \in \val[s]) \} $$ とおく．

creatureの有限列$t_0, \dots, t_{m-1}$で$m_\mathrm{up}^{t_i} = m_\mathrm{down}^{t_{i+1}}$ for every $i < m-1$を満たしているものを考える． $w \in \prod_{i < m_\mathrm{down}^{t_0}} \H(i)$とする． このとき， $$ \pos^*(w, t_0, \dots, t_{m-1}) = \{ u \in \prod_{i < m_\mathrm{up}^{t_{m-1}}} \H(i) : (\exists s \in \Sigma(\{t_1, \dots, t_{m-1} \}))((w, u) \in \val[s]) \} $$ とおく．

creatureの有限列$t_0, \dots, t_{m-1}$で$m_\mathrm{up}^{t_i} = m_\mathrm{down}^{t_{i+1}}$ for every $i < m-1$を満たしているものを考える． $w \in \prod_{i < m_\mathrm{down}^{t_0}} \H(i)$とする． これらについて，その可能性 (possibility)の集合を \begin{align*} \pos(w, t_0, \dots, t_{m-1}) = \{ u \in \prod_{i < m_\mathrm{up}^{t_{m-1}}} \H(i) : \,&\text{自然数列$0 < a_0 < \dots < a_l = m$があり，} \\ & u \restricted m_{\mathrm{down}}^{t_{a_0}} \in \pos^*(w, \{t_i\}_{i \in [0, a_0)}), \\ & u \restricted m_{\mathrm{down}}^{t_{a_1}} \in \pos^*(u \restricted m_{\mathrm{down}}^{t_{a_0}}, \{t_i\}_{i \in [a_0, a_1)}), \\ & \dots \\ & u \in \pos^*(u \restricted m_{\mathrm{down}}^{t_{a_{l-1}}}, \{t_i\}_{i \in [a_{l-1}, a_{l})}) \} \end{align*} と定める．

$w$と$t_0, \dots, t_{m-1}$が仮定を満たしていないときには，$\pos(w, t_0, \dots, t_{m-1}) = \varnothing$とする．

$(K, \Sigma)$がniceであるとは，任意の$t_0, \dots, t_{n-1} \in K$と$s \in \Sigma(t_0, \dots, t_{n-1})$について$\basis(t_0) \subseteq \basis(s)$であることを言う．

creatureの列$\seq{t_0, t_1, \dots}$がpure candidateであるとは $$ \forall i\ (m^{t_i}_\mathrm{up} = m^{t_{i+1}}_\mathrm{down}) $$ かつ $$ \exists w \in \basis(t_0)\ \forall i\ (\pos(w, t_0, \dots, t_i) \subseteq \basis(t_{i+1})) $$ を満たすときをいう．

$(K, \Sigma)$に関するpure candidate全部の集合を$\PC(K, \Sigma)$と書き，この集合の元であってノルムが無限大に発散するもの全部の集合を$\PC_\infty(K, \Sigma)$と書く．

$\PC(K, \Sigma)$の順序関係$\bar{t} \le \bar{s}$を次で定める． $\bar{t} \le \bar{s}$なのは次のとき： $\omega$のfinal segmentの区間分割$(I_n : n \in \omega)$があって， $t_n \in \Sigma(s_i : i \in I_{n+1})$ (for every $n \in \omega$).

$(K, \Sigma)$をcreating pairとして，$\bar{t} = \seq{t_n : n \in \omega} \in \PC(K, \Sigma)$とする．

1. $h \in \omega^\omega$に対して， $$ U_h(\bar{t}) = \{ \bar{s} = \seq{s_n : n \in \omega} \in \PC(K, \Sigma) : \bar{s} \le \bar{t} \text{ and } \forall n \in \omega\ (\nor[s_n] \le h(m^{s_n}_\mathrm{down})) \} $$ とおく．
2. $h_1, h_2 \in \omega^\omega$とする． 強制概念$P$が$(\bar{t}, h_1, h_2)$-boundingとは， $$ P \forces \forall s \in U_{h_1}(\bar{t})\ \exists s^* \in U_{h_2}(\bar{t}) \cap V\ (\bar{s} \le \bar{s}^*) $$ を満たすこと．

creating pair $(K, \Sigma)$ on $\H$について次を定義する．

1. $(K, \Sigma)$はmonotonicである iff 各$t \in K$と$s \in \Sigma(t)$について，$\val[s] \subseteq \val[t]$.
2. $(K, \Sigma)$はstrictly monotonicである iff それはmonotonicであって，かつ，すべての$n \in \omega$と $t_0, \dots, t_n \in K$と$s \in \Sigma(t_0, \dots, t_n)$であって， $\nor[s] \le \max \{ \nor[t_l] - 1 : l \le n\}$なものについて， $$ \forall u \in \basis(t_0)\ (\pos(u, s) \subsetneq \pos(u, t_0, \dots, t_n)). $$
3. $(K, \Sigma)$はspreadである iff 各$t \in K$と$u \in \basis(t)$と$v \in \pos(u, t)$について，$s \in \Sigma(t)$があり， $$ \nor[s] \le \frac{1}{2} \nor[t] \text{ and } v \in \pos(u, s). $$

$(K, \Sigma)$をcreating pairとする．

1. $t \in K$が$(n, m)$-additiveであるとは，どの$t_0, \dots, t_{n-1} \in \Sigma(t)$で，$\nor[t_i] \le m$ (for every $i < m$)なものについても， ある$s \in \Sigma(t)$があり， $t_0, \dots, t_{n-1} \in \Sigma(s)$かつ $\nor[s] \le \max \{ \nor[t_l] : l < n \} + 1$を満たすときを言う．
2. $t \in K$の$m$-additivityとは， $$ \add_m(t) = \sup \{ k < \omega : t \text{ is } (k, m) \text{-additive} \} $$ で定義される量．
3. $g, h \in \omega^\omega$とする． $(K, \Sigma)$が$(g, h)$-additiveであるとは，全ての$t \in K$について$\add_{h(m^t_\mathrm{down})}(t) \ge g(m^t_\mathrm{down})$を満たすこと． 同様に$\bar{t} \in \PC(K, \Sigma)$について，$\bar{t}$が$(g, h)$-additiveであるとは，全ての$n$で$\add_{h(m^{t_n}_\mathrm{down})}(t_n) \ge g(m^{t_n}_\mathrm{down})$を満たすこと．

$(K, \Sigma)$をcreating pairとし，$\bar{t} = \seq{t_n : n \in \omega} \in \PC_\infty(K, \Sigma)$とする．

1. 半順序集合$\bar{\mathcal{F}} = (\mathcal{F}, <^*_\mathcal{F})$ on $\mathcal{F} \subseteq \omega^\omega$が$\bar{t}$-goodであるとは，次の条件を満たすこと：
   1. $\bar{\mathcal{F}}$が自己稠密かつ極大元，極小元を持たない
   2. 各$f \in \mathcal{F}$について $\forall n\ (1 < h(m^{t_n}_\mathrm{down}) \le \nor[t_n])$かつ $\lim_{n \to \infty} (\nor[t_n] - h(m^{t_n}_\mathrm{down})) = \infty$
   3. もし$h_1, h_2 \in \mathcal{F}$かつ$h_1 <^*_\mathcal{F} h_2$ならば， $\forall n\ (h_1(m^{t_n}_\mathrm{down}) \le h_2(m^{t_n}_\mathrm{down}))$かつ $\lim_{n \to \infty} (h_2(m^{t_n}_\mathrm{down}) - h_1(m^{t_n}_\mathrm{down})) = \infty$
2. $\bar{\mathcal{F}}$が$\bar{t}$-goodだとする． 強制概念$P$が$(\bar{t}, \bar{\mathcal{F}})$-boundingであるとは，任意の$h_1, h_2 \in \mathcal{F}$で$h_1 <^*_\mathcal{F} h_2$なものについて，$P$が$(\bar{t}, f_1, f_2)$-boundingなことを言う．

creating pair $(K, \Sigma)$がsimpleであるとは，$\Sigma(S) \ne \varnothing$ならば$S$は一点集合となることを言う．

creating pair $(K, \Sigma)$がreducibleであるとは，どの$t \in K$で$\nor[t] > 3$であるものについても，ある$s \in \Sigma(t)$が存在し，$\nor[t] / 2 \le \nor[s] \le \nor[t] - 1$を満たすことを言う．