proper強制法の可算台反復 (countable support iteration)の制限について

(1)の証明から． なお(1)の事実は，有現台反復がCohen実数を加えることの類似物である． 各$\alpha$について$\dot{q}_\alpha$を$\forces_\alpha \dot{q}_\alpha \ne 1 \in \dot{Q}_\alpha$なる条件の名前とする． $\omega_1$から$2$への関数の名前$\dot{x}$を次で定める： $$ \forces_{\omega_1} \dot{x}(\alpha) = 1 \iff \dot{q}_\alpha \in \dot{G}(\alpha). $$

この$\dot{x}$が$\omega_1$-Cohen関数 over $V$であることが強制されることを示そう．

そのために$p \in P_{\omega_1}$と稠密集合$D \subseteq 2^{<\omega_1}$を任意に取ろう． 示すべきは，$q \le p$と$t \in D$があって$q \forces t \subseteq \dot{x}$である．

可算台反復なので，$p \in P_\beta$となる$\beta \in \omega_1$が見つかる． 必要に応じて条件を強めることで，$p$は次を満たすとしてよい $$ \text{各$\alpha \in \beta$について} \forces_\alpha p(\alpha) \le \dot{q}_\alpha \text{ または } \forces_\alpha p(\alpha) \perp \dot{q}_\alpha. $$

$s \in 2^\beta$を次で定める． $$ s(\alpha) = 1 \iff \forces_\alpha p(\alpha) \le \dot{q}_\alpha $$

すると当然，$p \forces s \subseteq \dot{x}$となる．この$s$に対して$D$の稠密性を使って，$t \in D$がとれて$s \subseteq t$となる．

$t$の長さを$\gamma$とする． $p$の拡大となる条件$q \in P_\gamma$を次で定める．各$\alpha \in \gamma \setminus \beta$について，

• もし$t(\alpha) = 1$ならば$q(\alpha) = \dot{q}_\alpha$
• もし$t(\alpha) = 0$ならば$q(\alpha)$は$\dot{q}_\alpha$と両立しない条件の名前

こうすれば，$q \forces t \subseteq \dot{x}$である．

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次に(2)の証明． (1)の証明で使った$\dot{x}$を使う． 各$x \in 2^{\omega_1}$と$\alpha \in \omega_1$について$x[\alpha]$という実数を $$ (\forall n \in \omega)\ x[\alpha](n) = x(\alpha + n) $$ で定める． $$ \forces_{\omega_1} 2^\omega = \{ \dot{x}[\alpha] : \alpha \in \omega_1 \} $$ を示せば証明が終わる．

$\dot{y}$を実数の$P_{\omega_1}$名前とする． proper強制法に関する定理により，$\dot{y}$はそれ以前のステージ$V^{P_\alpha}$ ($\alpha \in \omega_1$)で出現する． $p \in P_{\omega_1}$とする． 示すべきは$q \le p$と$\beta$があって，$q \forces \dot{y} = \dot{x}[\beta]$となることである． $\support(p) \subseteq \alpha$と仮定してよい．

各$n \in \omega$について$\dot{Q}_{\alpha + n}$の条件の$P_{\alpha+n}$-名前$\dot{q}(\alpha + n)$を$\dot{y}(n) = 1$ならば$\dot{q}(\alpha + n) = \dot{q}_{\alpha+n}$，そうでないならば，$\dot{q}(\alpha + n)$は$\dot{q}_{\alpha+n}$と両立しない条件として定めることができる．

こうして定めた条件$q$は$q \forces \dot{y} = \dot{x}[\alpha]$を満たす． (定理の証明終わり)

(1)は$V^{P_{\omega_1}}$において $$ |\mathbb{R}^V| \le |\mathbb{R}| = \aleph_1 $$ なので成り立つ．

(2)は$V^{P_{\omega_2}}$の時点で，$|\omega_2^V| \le |\mathbb{R}^{V[G_{\omega_2}]}|$なので(1)より成り立つ． (系の証明終わり)